[LeetCode] Unique Binary Search Trees I, II

Unique Binary Search Trees I

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

Unique Binary Search Trees II

Given n, generate all structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n.

For example,
Given n = 3, your program should return all 5 unique BST's shown below.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

confused what "{1,#,2,3}" means? > read more on how binary tree is serialized on OJ.

思路: Unique Binary Search Trees I

首先注意这里是BST而不是普通的Binary Tree，所以数字会对插入的位置有影响。这类找combination/permutation的题都需要找找规律。

n = 0

n = 1

1

n = 2

   1                  2

     \                /

      2            1

n = 3

 1           3    3      2     1

    \        /     /       / \       \

     3    2    1      1   3      2

    /     /        \                    \

   2   1          2                   3

定义f(n)为unique BST的数量，以n = 3为例：

构造的BST的根节点可以取{1, 2, 3}中的任一数字。

如以1为节点，则left subtree只能有0个节点，而right subtree有2, 3两个节点。所以left/right subtree一共的combination数量为：f(0) * f(2) = 2

以2为节点，则left subtree只能为1，right subtree只能为2：f(1) * f(1) = 1

以3为节点，则left subtree有1, 2两个节点，right subtree有0个节点：f(2)*f(0) = 2

总结规律：

f(0) = 1

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

class Solution { public: int numTrees(int n) { vector<int> numBST(n+1,0); numBST[0] = 1; for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=0; j<i; j++) { numBST[i] += numBST[j]*numBST[i-1-j]; } } return numBST[n]; } };

思路: Unique Binary Search Trees II

要求生成所有的unique BST，类似combination/permutation的题目，可以递归构造。

1. 根节点可以任取min ~ max (例如min  = 1, max = n)，假如取定为i。

2. 则left subtree由min ~ i-1组成，假设可以有L种可能。right subtree由i+1 ~ max组成，假设有R种可能。生成所有可能的left/right subtree。

3 对于每个生成的left subtree/right subtree组合<T_left(p), T_right(q)>，p = 1...L，q = 1...R，添加上根节点i而组成一颗新树。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

class Solution { public: vector<TreeNode *> generateTrees(int n) { return genBST(1, n); } vector<TreeNode *> genBST(int min, int max) { vector<TreeNode *> ret; if(min>max) { ret.push_back(NULL); return ret; } for(int i=min; i<=max; i++) { vector<TreeNode*> leftSubTree = genBST(min,i-1); vector<TreeNode*> rightSubTree = genBST(i+1,max); for(int j=0; j<leftSubTree.size(); j++) { for(int k=0; k<rightSubTree.size(); k++) { TreeNode *root = new TreeNode(i); root->left = leftSubTree[j]; root->right = rightSubTree[k]; ret.push_back(root); } } } return ret; } };